基础数学示例

$4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

解题步骤 3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入多项式。

$4 \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 1 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 3 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + 3 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 + 3 - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.6

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$7 - 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.7

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$7 - 5 - 2$

解题步骤 3.8

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$2 - 2$

解题步骤 3.9

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $t - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2}{t - 1}$

解题步骤 5

用 $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ 除以 $t - 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$t$

$1$

$4 t^{3}$

$3 t^{2}$

$5 t$

$2$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $4 t^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

					$4 t^{2}$
	$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			+	$4 t^{3}$	-	$4 t^{2}$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 t^{3} - 4 t^{2}$ 中的所有符号

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 t^{2}$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $7 t^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					+	$7 t^{2}$	-	$7 t$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 t^{2} - 7 t$ 中的所有符号

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$

解题步骤 5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

解题步骤 5.12

将被除数中的最高阶项 $2 t$ 除以除数中的最高阶项 $t$ 。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$

解题步骤 5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							+	$2 t$	-	$2$

解题步骤 5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 t - 2$ 中的所有符号

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$

解题步骤 5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 t^{2}$	+	$7 t$	+	$2$
$t$	-	$1$		$4 t^{3}$	+	$3 t^{2}$	-	$5 t$	-	$2$
			-	$4 t^{3}$	+	$4 t^{2}$
					+	$7 t^{2}$	-	$5 t$
					-	$7 t^{2}$	+	$7 t$
							+	$2 t$	-	$2$
							-	$2 t$	+	$2$
										$0$

解题步骤 5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 t^{2} + 7 t + 2$

解题步骤 6

将 $4 t^{3} + 3 t^{2} - 5 t - 2$ 书写为因数的集合。

$(t - 1) (4 t^{2} + 7 t + 2)$

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